Родилась и выросла в Ленинграде. В 1965 году окончила Ленинградскую консерваторию по классу сольного пения у Ираиды Тимоновой-Левандо. Студенткой консерватории завоевала II премию на Всесоюзном конкурсе вокалистов им. М. И. Глинки в Москве (1962), после чего получила приглашение в труппу Кировского театра. На сцене театра дебютировала в 1964 году, исполнив партию Полины в опере «Пиковая дама». Вслед за победой на Международном конкурсе вокалистов в Рио-де-Жанейро (1967) отправилась на стажировку в Ла Скала, где занималась со знаменитым педагогом Дженнаро Барра-Караччоло. В 1969 году дебютировала на сцене миланского театра в опере «Бал-маскарад» (Ульрика).
На сцене Мариинского театра Ирина Богачёва исполнила около трех десятков ролей, в числе которых – Кармен в одноименной опере Бизе, Амнерис в «Аиде», Любаша в «Царской невесте», Марфа в «Хованщине», Азучена в «Трубадуре», Шарлотта в «Вертере», Марина Мнишек в «Борисе Годунове». Роль Графини в «Пиковой даме» стала визитной карточкой артистки и образцом для нескольких поколений оперных певцов. Первая исполнительница вокального цикла «Шесть стихотворений Марины Цветаевой» Шостаковича (1973).
Народная артистка СССР (1976), лауреат Государственной премии СССР (1984), кавалер орденов «За заслуги перед Отечеством» IV и III степени, ордена Дружбы народов, лауреат театральных премий «Золотая маска» (2017, «За выдающийся вклад в развитие театрального искусства») и «Золотой софит» (1995, 2012), почетный гражданин Санкт-Петербурга (2000).
С 1980 года преподавала в Ленинградской консерватории (с 1982 года – профессор), была заведующей кафедрой сольного пения Санкт-Петербургской консерватории. Среди учеников Ирины Богачёвой – солистки Мариинского театра Ольга Бородина, Ольга Савова, Елена Витман, Наталья Евстафьева. По инициативе певицы при консерватории проводится Международный конкурс оперных певцов «Санкт-Петербург».
Ушла из жизни 20 сентября 2019 года.